Algebra
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If x is a rational number and (x + 1)3 - (x - 1)3 = 2 , then the sum of numerator and denominator of x is (x + 1)2 - (x - 1)2
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( x + 1 )3 - ( x - 1 )3 = 2 ( x + 1 )2 - ( x - 1 )2 ⇒ ( x3 + 3x2 + 3x + 1 ) - ( x3 - 3x2 + 3x - 1 ) = 2 ( x2 + 2x + 1 ) - ( x2 - 2x + 1 ) ⇒ x3 + 3x2 + 3x + 1 - x3 + 3x2 - 3x + 1 = 2 x2 + 2x + 1 - x2 + 2x - 1 ⇒ 6x2 + 2 = 2 4x ⇒ 3x2 + 1 = 1 ⇒ 3x2 + 1 = 4x 4x
⇒ 3x2 - 4x + 1 = 0
⇒ 3x2 - 3x - x + 1 = 0
⇒ 3x(x – 1) – 1(x – 1) = 0
⇒ (3x – 1)(x – 1) = 0
⇒ 3x – 1 = 0, or, x – 1 = 0⇒ x = 1 or 1 3
Hence, sum of the numerator and denominator = 1 + 3 = 4 or, 1 + 1 = 2
Correct Option: B
( x + 1 )3 - ( x - 1 )3 = 2 ( x + 1 )2 - ( x - 1 )2 ⇒ ( x3 + 3x2 + 3x + 1 ) - ( x3 - 3x2 + 3x - 1 ) = 2 ( x2 + 2x + 1 ) - ( x2 - 2x + 1 ) ⇒ x3 + 3x2 + 3x + 1 - x3 + 3x2 - 3x + 1 = 2 x2 + 2x + 1 - x2 + 2x - 1 ⇒ 6x2 + 2 = 2 4x ⇒ 3x2 + 1 = 1 ⇒ 3x2 + 1 = 4x 4x
⇒ 3x2 - 4x + 1 = 0
⇒ 3x2 - 3x - x + 1 = 0
⇒ 3x(x – 1) – 1(x – 1) = 0
⇒ (3x – 1)(x – 1) = 0
⇒ 3x – 1 = 0, or, x – 1 = 0⇒ x = 1 or 1 3
Hence, sum of the numerator and denominator = 1 + 3 = 4 or, 1 + 1 = 2
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If x = √5 + 2 ,then the value 2x2 - 3x - 2 is equal to 3x2 - 4x - 3
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Expression = 2x2 - 3x - 2 3x2 - 4x - 3 Expression = 2(√5 + 2)2 - 3(√5 + 2) - 2 3(√5 + 2)2 - 4(√5 + 2) - 3 Expression = 2(5 + 4 + 4√5) - 3(√5 + 2) - 2 3(5 + 4 + 4√5) - 4(√5 + 2) - 3 Expression = 18 + 8√5 - 3√5 - 6 - 2 27 + 12√5 - 4√5 - 8 - 3 Expression = 10 + 5√5 16 + 8√5 Expression = 5(2 + √5) 8(2 + √5) Expression = 5 = 0.625 8 Correct Option: C
Expression = 2x2 - 3x - 2 3x2 - 4x - 3 Expression = 2(√5 + 2)2 - 3(√5 + 2) - 2 3(√5 + 2)2 - 4(√5 + 2) - 3 Expression = 2(5 + 4 + 4√5) - 3(√5 + 2) - 2 3(5 + 4 + 4√5) - 4(√5 + 2) - 3 Expression = 18 + 8√5 - 3√5 - 6 - 2 27 + 12√5 - 4√5 - 8 - 3 Expression = 10 + 5√5 16 + 8√5 Expression = 5(2 + √5) 8(2 + √5) Expression = 5 = 0.625 8
- If a = 2.234, b = 3.121 and c = –5.355, then the value of a3 + b3 + c3 - 3abc is
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Using Rule 21,
a = 2.234, b = 3.121 and c = -5.355
a + b + c = 2.234 + 3.121 – 5.355 = 0
∴ a3 + b3 + c3 – 3abc = 0Correct Option: B
Using Rule 21,
a = 2.234, b = 3.121 and c = -5.355
a + b + c = 2.234 + 3.121 – 5.355 = 0
∴ a3 + b3 + c3 – 3abc = 0
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If x3 + 3 = 4( a3 + b3 ) and 3x + 1 = 4( a3 + b3 ) , then ( a2 - b2 ) is equal to x x3
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x3 + 3 = 4( a3 + b3 ) x 3x + 1 = 4( a3 - b3 ) x3
On adding,x3 + 3x + 3 + 1 = 8a3 x x3 ⇒ 
x + 1 
3 = (2a)3 x ⇒ x + 1 = 2a x ⇒ a = 1 x + 1 2 x
Similarly,x3 + 3 - 3x - 1 = 8b3 x x3 ⇒ x - 1 3 = (2b)3 x ⇒ x - 1 = 2b x ⇒ b = 1 x - 1 2 x ∴ a2 - b2 = 1 
x + 1 2 - x - 1 2 
4 x x a2 - b2 = 1 × 4 = 1 4 Correct Option: C
x3 + 3 = 4( a3 + b3 ) x 3x + 1 = 4( a3 - b3 ) x3
On adding,x3 + 3x + 3 + 1 = 8a3 x x3 ⇒ x + 1 3 = (2a)3 x ⇒ x + 1 = 2a x ⇒ a = 1 x + 1 2 x
Similarly,x3 + 3 - 3x - 1 = 8b3 x x3 ⇒ x - 1 3 = (2b)3 x ⇒ x - 1 = 2b x ⇒ b = 1 x - 1 2 x ∴ a2 - b2 = 1 x + 1 2 - x - 1 2 4 x x a2 - b2 = 1 × 4 = 1 4
- If 3( a2 + b2 + c2 ) = (a + b + c)2 , then the relation between a, b and c is
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3( a2 + b2 + c2 ) = (a + b + c)2
⇒ 3a2 + 3b2 + 3c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇒ 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0
⇒ a2 + b2 - 2ab + b2 + c2 - 2bc + c2 + a2 - 2ca = 0
⇒ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0
⇒ a – b = 0 ⇒ a = b
If x2 + y2 + z2 = 0 , x = 0, y = 0, z = 0]
b – c = 0 ⇒ b = c
c – a = 0 ⇒ c = a
∴ a = b = cCorrect Option: A
3( a2 + b2 + c2 ) = (a + b + c)2
⇒ 3a2 + 3b2 + 3c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇒ 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0
⇒ a2 + b2 - 2ab + b2 + c2 - 2bc + c2 + a2 - 2ca = 0
⇒ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0
⇒ a – b = 0 ⇒ a = b
If x2 + y2 + z2 = 0 , x = 0, y = 0, z = 0]
b – c = 0 ⇒ b = c
c – a = 0 ⇒ c = a
∴ a = b = c
