Algebra
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If ( a2 + b2 )3 = ( a3 + b3 )2, then a + b is : b a
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( a2 + b2 )3 = ( a3 + b3 )2
⇒ a6 + b6 + 3a2b2( a2 + b2 ) = a6 + b6 + 2a3b3
⇒ 3( a2 + b2 ) = 2ab⇒ a2 + b2 = 2 ab 3 ⇒ a + b = 2 b a 3 Correct Option: B
( a2 + b2 )3 = ( a3 + b3 )2
⇒ a6 + b6 + 3a2b2( a2 + b2 ) = a6 + b6 + 2a3b3
⇒ 3( a2 + b2 ) = 2ab⇒ a2 + b2 = 2 ab 3 ⇒ a + b = 2 b a 3
- If a3 - b3 = 56 and a – b = 2, then value of a2 + b2 will be :
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Using Rule 9,
a3 - b3 = 56
⇒ (a – b)( a2 + ab + b2 ) = 56
⇒ a2 + ab + b2 = 28
⇒ (a – b)2 + 3ab = 28
⇒ 4 + 3ab = 28
⇒ 3ab = 28 – 4 = 24
⇒ ab = 8
∴ a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab
= 4 + 16 = 20Correct Option: B
Using Rule 9,
a3 - b3 = 56
⇒ (a – b)( a2 + ab + b2 ) = 56
⇒ a2 + ab + b2 = 28
⇒ (a – b)2 + 3ab = 28
⇒ 4 + 3ab = 28
⇒ 3ab = 28 – 4 = 24
⇒ ab = 8
∴ a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab
= 4 + 16 = 20
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If x3 + y3 = 35 and x + y = 5, then the value of 1 + 1 will be : x y
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Using Rule 8
∴ (x + y)3 = x3 + y3 + 3 (xy)
(x + y)
⇒ 125 = 35 + 3(5) xy
⇒ 15xy = 125 – 35 = 90⇒ xy = 90 = 6 15 ⇒ x + y = 1 + 1 xy x y ⇒ x + y = 5 xy 6
Correct Option: B
Using Rule 8
∴ (x + y)3 = x3 + y3 + 3 (xy)
(x + y)
⇒ 125 = 35 + 3(5) xy
⇒ 15xy = 125 – 35 = 90⇒ xy = 90 = 6 15 ⇒ x + y = 1 + 1 xy x y ⇒ x + y = 5 xy 6
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If a + 1 = √3 , then the value of a6 - 1 + 2 will be a a6
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Using Rule 8,
⇒ a + 1 = √3 a
On cubing both sides,⇒ 
a + 1 
3 = 3√3 a ⇒ a3 + 1 + 3.a. 1 a + 1 = 3√3 a3 a a ⇒ a3 + 1 + 3√3 - 3√3 = 0 a3 ⇒ a3 + 1 = 0 ....(i) a3 ⇒ a6 - 1 + 2 = ( a3 )2 - 1 2 a3 - 1 + 2 = 2 a6 a3 a3 Correct Option: B
Using Rule 8,
⇒ a + 1 = √3 a
On cubing both sides,⇒ a + 1 3 = 3√3 a ⇒ a3 + 1 + 3.a. 1 a + 1 = 3√3 a3 a a ⇒ a3 + 1 + 3√3 - 3√3 = 0 a3 ⇒ a3 + 1 = 0 ....(i) a3 ⇒ a6 - 1 + 2 = ( a3 )2 - 1 2 a3 - 1 + 2 = 2 a6 a3 a3
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If x + 1 2 = 3 , then the value of ( x206 + x200 + x90 + x84 + x18 + x12 + x6 + 1 ) is x
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Using Rule 8,
x + 1 2 = 3 x ⇒ x + 1 = √3 x
On cubing both sides,⇒ x + 1 3 = 3√3 x ∴ x3 + 1 + 3 x + 1 = 3√3 x3 x ⇒ x3 + 1 + 3√3 - 3√3 = 0 x3 ⇒ x3 + 1 = 0 ⇒ x6 + 1 = 0 x3
Now , x206 + x200 + x90 + x84 + x18 + x12 + x6 + 1 = x200( x6 + 1 ) + x84( x6 + 1 ) + x12( x6 + 1 ) + ( x6 + 1 )
= 0Correct Option: A
Using Rule 8,
x + 1 2 = 3 x ⇒ x + 1 = √3 x
On cubing both sides,⇒ x + 1 3 = 3√3 x ∴ x3 + 1 + 3 x + 1 = 3√3 x3 x ⇒ x3 + 1 + 3√3 - 3√3 = 0 x3 ⇒ x3 + 1 = 0 ⇒ x6 + 1 = 0 x3
Now , x206 + x200 + x90 + x84 + x18 + x12 + x6 + 1 = x200( x6 + 1 ) + x84( x6 + 1 ) + x12( x6 + 1 ) + ( x6 + 1 )
= 0
