Trigonometry
- The simple value of tan 1°. tan 2°. tan 3°....... tan 89° is
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tan 1° . tan 2° . tan 3° ... tan 89°
= (tan 1° . tan 89°) (tan 2°. tan88°) ... tan 45°
= (tan 1°. tan(90° – 1°) ) (tan 2° tan (90° – 2°) .. tan 45°
= (tan 1° . cot 1°) (tan 2°. cot 2°) .. tan 45°
= 1.1..1. = 1
[tan (90° – θ) = cot θ]Correct Option: C
tan 1° . tan 2° . tan 3° ... tan 89°
= (tan 1° . tan 89°) (tan 2°. tan88°) ... tan 45°
= (tan 1°. tan(90° – 1°) ) (tan 2° tan (90° – 2°) .. tan 45°
= (tan 1° . cot 1°) (tan 2°. cot 2°) .. tan 45°
= 1.1..1. = 1
[tan (90° – θ) = cot θ]
- If θ is an acute angle and tan θ + cot θ = 2, then the value of tan5 θ + cot5 θ is
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tan θ + cot θ = 2
⇒ tan θ + 1 = 2 tan θ ⇒ tan² θ + 1 = 2 tan θ
⇒ tan² θ +1 = 2 tanθ
⇒ tan²θ – 2 tan θ + 1 = 0
⇒ (tan θ –1)² = 0
⇒ tanθ – 1= 0 ⇒ tanθ = 1∴ cot θ = 1 = 1 tan θ
∴ tan5θ + cot5θ = 1 + 1 = 2Correct Option: B
tan θ + cot θ = 2
⇒ tan θ + 1 = 2 tan θ ⇒ tan² θ + 1 = 2 tan θ
⇒ tan² θ +1 = 2 tanθ
⇒ tan²θ – 2 tan θ + 1 = 0
⇒ (tan θ –1)² = 0
⇒ tanθ – 1= 0 ⇒ tanθ = 1∴ cot θ = 1 = 1 tan θ
∴ tan5θ + cot5θ = 1 + 1 = 2
- If 3 sin θ + 5 cos θ = 5, then the value of 5 sin θ – 3 cos q will be
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3 sin θ + 5 cos θ = 5 --- (i)
5 sin θ – 3 cos θ = x (let)-- (ii)
On squaring and adding both the equations,
(3sin θ + 5 cos θ) 2 + (5 sin θ – 3 cos θ )² = 5² + x²
⇒ 9 sin²θ + 2² cos²θ + 30 sin θ .cos θ+ 25 sin² θ + 9 cos² θ – 30 sin θ . cos θ = 25 + x²
⇒ 9 sin²θ + 9 cos²θ + 25 cos2 θ + 25 sin²θ = 25 + x²
⇒ 9 (sin²θ + cos²θ) + 25 (cos²θ + sin²θ ) = 25 + x²
⇒ 9 + 25 = 25 + x²
⇒ x² = 9
⇒ x = ± 3Correct Option: A
3 sin θ + 5 cos θ = 5 --- (i)
5 sin θ – 3 cos θ = x (let)-- (ii)
On squaring and adding both the equations,
(3sin θ + 5 cos θ) 2 + (5 sin θ – 3 cos θ )² = 5² + x²
⇒ 9 sin²θ + 2² cos²θ + 30 sin θ .cos θ+ 25 sin² θ + 9 cos² θ – 30 sin θ . cos θ = 25 + x²
⇒ 9 sin²θ + 9 cos²θ + 25 cos2 θ + 25 sin²θ = 25 + x²
⇒ 9 (sin²θ + cos²θ) + 25 (cos²θ + sin²θ ) = 25 + x²
⇒ 9 + 25 = 25 + x²
⇒ x² = 9
⇒ x = ± 3
- If sec α + tan α = 2, then the value of sin α is
(assume that 0 < α < 90°)
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sec α + tan α = 2
⇒ 1 + sin α = 2 cos α cos α ⇒ 1 + sin α = 2 cos α
⇒ 1 + sin α = 2 cosα
⇒ (1+ sinα)² = 4 cos²α
⇒ 1 + sin²α + 2 sin α = 4(1 – sin²α)
⇒ 1+ sin²α + 2 sinα = 4 – 4 sin²α
⇒ 5 sin²α + 2 sinα + 1 – 4 = 0
⇒ 5 sin²α + 2 sinα – 3 = 0
⇒ 5 sin²α + 5 sinα – 3 sinα – 3 = 0
⇒ 5 sinα (sinα +1) – 3 (sinα +1) = 0
⇒ (5 sinα – 3) (sinα +1) = 0
∵α < 90°,
∴ 5 sinα – 3 = 0
⇒ 5 sinα = 3⇒ sin α = 3 = 0.6 5
Correct Option: C
sec α + tan α = 2
⇒ 1 + sin α = 2 cos α cos α ⇒ 1 + sin α = 2 cos α
⇒ 1 + sin α = 2 cosα
⇒ (1+ sinα)² = 4 cos²α
⇒ 1 + sin²α + 2 sin α = 4(1 – sin²α)
⇒ 1+ sin²α + 2 sinα = 4 – 4 sin²α
⇒ 5 sin²α + 2 sinα + 1 – 4 = 0
⇒ 5 sin²α + 2 sinα – 3 = 0
⇒ 5 sin²α + 5 sinα – 3 sinα – 3 = 0
⇒ 5 sinα (sinα +1) – 3 (sinα +1) = 0
⇒ (5 sinα – 3) (sinα +1) = 0
∵α < 90°,
∴ 5 sinα – 3 = 0
⇒ 5 sinα = 3⇒ sin α = 3 = 0.6 5
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If sin 21° = x , then sec 21° – sin 69° is equal to y
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sin 21° = x y
cos 21° = √1 - sin² 21°∴ sec 21° = y √y² - x²
∴ sec 21° – sin 69°
= sec 21° – sin (90° – 21°)
= sec 21° – cos 21°= y - √y² - x² √y² - x² y = y² - (y² - x²) - x² y√y² - x² y√y² - x²
Correct Option: A
sin 21° = x y
cos 21° = √1 - sin² 21°∴ sec 21° = y √y² - x²
∴ sec 21° – sin 69°
= sec 21° – sin (90° – 21°)
= sec 21° – cos 21°= y - √y² - x² √y² - x² y = y² - (y² - x²) - x² y√y² - x² y√y² - x²