Trigonometry


  1. The simple value of tan 1°. tan 2°. tan 3°....... tan 89° is









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    tan 1° . tan 2° . tan 3° ... tan 89°
    = (tan 1° . tan 89°) (tan 2°. tan88°) ... tan 45°
    = (tan 1°. tan(90° – 1°) ) (tan 2° tan (90° – 2°) .. tan 45°
    = (tan 1° . cot 1°) (tan 2°. cot 2°) .. tan 45°
    = 1.1..1. = 1
    [tan (90° – θ) = cot θ]

    Correct Option: C

    tan 1° . tan 2° . tan 3° ... tan 89°
    = (tan 1° . tan 89°) (tan 2°. tan88°) ... tan 45°
    = (tan 1°. tan(90° – 1°) ) (tan 2° tan (90° – 2°) .. tan 45°
    = (tan 1° . cot 1°) (tan 2°. cot 2°) .. tan 45°
    = 1.1..1. = 1
    [tan (90° – θ) = cot θ]


  1. If θ is an acute angle and tan θ + cot θ = 2, then the value of tan5 θ + cot5 θ is









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    tan θ + cot θ = 2

    ⇒ tan θ +
    1
    = 2
    tan θ

    tan² θ + 1
    = 2
    tan θ

    ⇒ tan² θ +1 = 2 tanθ
    ⇒ tan²θ – 2 tan θ + 1 = 0
    ⇒ (tan θ –1)² = 0
    ⇒ tanθ – 1= 0 ⇒ tanθ = 1
    ∴ cot θ =
    1
    = 1
    tan θ

    ∴ tan5θ + cot5θ = 1 + 1 = 2

    Correct Option: B

    tan θ + cot θ = 2

    ⇒ tan θ +
    1
    = 2
    tan θ

    tan² θ + 1
    = 2
    tan θ

    ⇒ tan² θ +1 = 2 tanθ
    ⇒ tan²θ – 2 tan θ + 1 = 0
    ⇒ (tan θ –1)² = 0
    ⇒ tanθ – 1= 0 ⇒ tanθ = 1
    ∴ cot θ =
    1
    = 1
    tan θ

    ∴ tan5θ + cot5θ = 1 + 1 = 2



  1. If 3 sin θ + 5 cos θ = 5, then the value of 5 sin θ – 3 cos q will be









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    3 sin θ + 5 cos θ = 5 --- (i)
    5 sin θ – 3 cos θ = x (let)-- (ii)
    On squaring and adding both the equations,
    (3sin θ + 5 cos θ) 2 + (5 sin θ – 3 cos θ )² = 5² + x²
    ⇒ 9 sin²θ + 2² cos²θ + 30 sin θ .cos θ+ 25 sin² θ + 9 cos² θ – 30 sin θ . cos θ = 25 + x²
    ⇒ 9 sin²θ + 9 cos²θ + 25 cos2 θ + 25 sin²θ = 25 + x²
    ⇒ 9 (sin²θ + cos²θ) + 25 (cos²θ + sin²θ ) = 25 + x²
    ⇒ 9 + 25 = 25 + x²
    ⇒ x² = 9
    ⇒ x = ± 3

    Correct Option: A

    3 sin θ + 5 cos θ = 5 --- (i)
    5 sin θ – 3 cos θ = x (let)-- (ii)
    On squaring and adding both the equations,
    (3sin θ + 5 cos θ) 2 + (5 sin θ – 3 cos θ )² = 5² + x²
    ⇒ 9 sin²θ + 2² cos²θ + 30 sin θ .cos θ+ 25 sin² θ + 9 cos² θ – 30 sin θ . cos θ = 25 + x²
    ⇒ 9 sin²θ + 9 cos²θ + 25 cos2 θ + 25 sin²θ = 25 + x²
    ⇒ 9 (sin²θ + cos²θ) + 25 (cos²θ + sin²θ ) = 25 + x²
    ⇒ 9 + 25 = 25 + x²
    ⇒ x² = 9
    ⇒ x = ± 3


  1. If sec α + tan α = 2, then the value of sin α is
    (assume that 0 < α < 90°)









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    sec α + tan α = 2

    1
    +
    sin α
    = 2
    cos αcos α

    1 + sin α
    = 2
    cos α

    ⇒ 1 + sin α = 2 cosα
    ⇒ (1+ sinα)² = 4 cos²α
    ⇒ 1 + sin²α + 2 sin α = 4(1 – sin²α)
    ⇒ 1+ sin²α + 2 sinα = 4 – 4 sin²α
    ⇒ 5 sin²α + 2 sinα + 1 – 4 = 0
    ⇒ 5 sin²α + 2 sinα – 3 = 0
    ⇒ 5 sin²α + 5 sinα – 3 sinα – 3 = 0
    ⇒ 5 sinα (sinα +1) – 3 (sinα +1) = 0
    ⇒ (5 sinα – 3) (sinα +1) = 0
    ∵α < 90°,
    ∴ 5 sinα – 3 = 0
    ⇒ 5 sinα = 3
    ⇒ sin α =
    3
    = 0.6
    5

    Correct Option: C

    sec α + tan α = 2

    1
    +
    sin α
    = 2
    cos αcos α

    1 + sin α
    = 2
    cos α

    ⇒ 1 + sin α = 2 cosα
    ⇒ (1+ sinα)² = 4 cos²α
    ⇒ 1 + sin²α + 2 sin α = 4(1 – sin²α)
    ⇒ 1+ sin²α + 2 sinα = 4 – 4 sin²α
    ⇒ 5 sin²α + 2 sinα + 1 – 4 = 0
    ⇒ 5 sin²α + 2 sinα – 3 = 0
    ⇒ 5 sin²α + 5 sinα – 3 sinα – 3 = 0
    ⇒ 5 sinα (sinα +1) – 3 (sinα +1) = 0
    ⇒ (5 sinα – 3) (sinα +1) = 0
    ∵α < 90°,
    ∴ 5 sinα – 3 = 0
    ⇒ 5 sinα = 3
    ⇒ sin α =
    3
    = 0.6
    5



  1. If sin 21° =
    x
    , then sec 21° – sin 69° is equal to
    y









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    sin 21° =
    x
    y

    cos 21° = √1 - sin² 21°

    ∴ sec 21° =
    y
    y² - x²

    ∴ sec 21° – sin 69°
    = sec 21° – sin (90° – 21°)
    = sec 21° – cos 21°
    =
    y
    -
    y² - x²
    y² - x²y

    =
    y² - (y² - x²)
    -
    y√y² - x²y√y² - x²

    Correct Option: A

    sin 21° =
    x
    y

    cos 21° = √1 - sin² 21°

    ∴ sec 21° =
    y
    y² - x²

    ∴ sec 21° – sin 69°
    = sec 21° – sin (90° – 21°)
    = sec 21° – cos 21°
    =
    y
    -
    y² - x²
    y² - x²y

    =
    y² - (y² - x²)
    -
    y√y² - x²y√y² - x²